Een magneet houdt een boodschappenlijstje op de koelkast en laat een kompasnaald uitslaan, en toch gaat er niets zichtbaars tussen de magneet en wat hij in beweging brengt. De duw en de trek komen door de lege ruimte, en dat maakt magnetisme in het begin lastig te vatten. Het helpt om het idee in drie stappen op te bouwen in plaats van meteen de volledige theorie erbij te halen.

De eerste stap is het veld, de onzichtbare rangschikking van richting en sterkte die de ruimte rond een magneet of een stroomvoerende draad vult. De tweede is kracht: hoe dat veld een bewegende lading van haar baan af duwt. De derde is inductie: hoe een veranderend veld stroom door een nabije draadlus drijft. Volg je die drie, dan zien elektriciteit en magnetisme er niet langer als aparte vakken uit. Het worden twee gezichten van één stel wetten, en het licht volgt als bonus uit diezelfde wetten.

Deze pagina doorloopt de drie stappen, met voor elk een interactief model: een draad waarvan je de stroom kunt opvoeren, een geladen deeltje dat je door een veld kunt sturen, en een flux die je heen en weer kunt bewegen.

Magnetische velden: richting en sterkte op elk punt

Leg een kompas naast een staafmagneet en de naald klikt vast op een richting. Verplaats het kompas naar een andere plek en de naald komt tot rust in een andere richting. De naald leest het lokale magnetische veld, wat betekent dat elk punt in de ruimte een richting heeft waarin het veld wijst en een sterkte die eraan hangt.

Veldlijnen zijn de standaardmanier om die kaart te tekenen. Buiten een staafmagneet lopen ze van de noordpool naar de zuidpool; binnen de magneet gaan ze van zuid terug naar noord en sluiten ze zich tot lussen. Omdat de lussen nooit eindigen, heeft een magneet altijd zowel een noord- als een zuidpool, hoe fijn je hem ook doorsnijdt. De lijndichtheid draagt de sterkte: dicht op elkaar gepakte lijnen markeren een sterk veld, en uit elkaar liggende lijnen een zwak veld.

Deze lijnen zijn een tekenafspraak, geen fysieke draden. Een kompasnaald richt zich op de raaklijn aan de lijn op haar plek, en er stroomt niets langs de kromme. Het beeld is een compacte manier om richting en relatieve sterkte in één oogopslag te lezen.

Elk magnetisch veld komt van elektrische lading in beweging. In een permanente magneet dragen elektronen kleine magnetische momenten, en in ijzerachtige materialen richten veel van die momenten zich uit in gebiedjes die domeinen heten. Als genoeg domeinen dezelfde kant op wijzen, is het gecombineerde veld sterk genoeg om buiten het materiaal te voelen. Een stroomvoerende draad is het schonere geval om mee te beginnen, omdat de beweging een gestage verschuiving van lading in één richting is.

Het veld rond een stroomvoerende draad

Stuur een gestage stroom door een lange rechte draad en het veld wikkelt zich in cirkels rond de draad. Dicht bij de draad zijn de cirkels nauw en is het veld sterk; verder naar buiten waaieren ze uit en zwakken ze af. Voor een draad met stroom $I$ is de grootte van het veld op afstand $r$:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

$\mu_0$ is de permeabiliteit van het vacuüm, een constante die bepaalt hoe sterk een gegeven stroom een magnetisch veld in vacuüm opwekt. Twee gevolgen volgen direct uit de formule. Verdubbel de stroom en je verdubbelt het veld. Verdubbel de afstand en je halveert het veld, omdat de sterkte met $1/r$ afneemt.

Het model hieronder toont de draad in de lengterichting, alsof je er van bovenaf op neerkijkt, met kleine pijlen als kompasnaalden. Dicht bij de draad zijn de pijlen lang en de ringen nauw; naar buiten toe zwakt het veld ruwweg omgekeerd evenredig met de afstand af, dus de lokale pijl wordt half zo klein telkens als de afstand verdubbelt. De stroom opvoeren maakt elke pijl in één keer langer en de ringen helderder, wat de lineaire afhankelijkheid van $I$ zichtbaar maakt. De stroom omkeren, van een stip naar een kruis, keert elke pijl om en draait de circulatie van tegen de klok in naar met de klok mee.

De uitlezing is het bekijken waard tegen een vertrouwde schaal. Een stroom van 10 A op 10 cm geeft ongeveer 20 microtesla, dezelfde orde van grootte als het aardveld aan het oppervlak. Het veld bij een alledaagse draad is dus vergelijkbaar met dat van de planeet waarop je leeft, en een kompas kan het registreren.

Hoe een magnetisch veld een bewegende lading afbuigt

Een magnetisch veld negeert een lading die stilstaat. Op het moment dat de lading beweegt, verschijnt een kracht die loodrecht staat op zowel de snelheid als het veld:

$$\mathbf{F} = q,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$$

$q$ is de lading, $\mathbf{v}$ is haar snelheid en $\mathbf{B}$ is het lokale magnetische veld. Het kruisproduct is het belangrijkste deel. Het zegt dat de kracht zijwaarts op de beweging wijst in plaats van erlangs, dus het veld kan het deeltje niet versnellen of afremmen. Het kan alleen sturen, en daarom buigt een magnetisch veld een bewegende lading in een kromme zonder haar snelheid te veranderen.

Een bewegende lading in een homogeen veld sturen levert een cirkel op, omdat de kracht de snelheid altijd een kwartslag draait. De straal van die cirkel is

$$r = \frac{mv}{qB}$$

waar $m$ de massa van het deeltje is. Snellere deeltjes beschrijven wijdere cirkels, sterkere velden trekken ze in nauwere, en zwaardere deeltjes verzetten zich tegen de draai. Die relatie drijft apparaten aan zoals de massaspectrometer, die deeltjes sorteert op hoe scherp een veld ze afbuigt.

De richting is het deel waar mensen over struikelen, dus het loont om die los van de getallen aan te pakken. Voor een positieve lading geeft de rechterhandregel toegepast op $\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ de richting van de kracht. Voor een negatieve lading zoals een elektron bereken je hetzelfde kruisproduct en keer je daarna de uitkomst om, omdat het teken van $q$ de kracht omdraait.

Het model hieronder toont dezelfde wet in beweging: een geladen deeltje dat cirkelt in een homogeen veld dat uit het scherm of erin wijst. De blauwe pijl is de snelheid en de rode pijl is de kracht, en de rechte hoek ertussen blijft vast terwijl het deeltje draait. Een langere snelheidspijl betekent een sneller deeltje, en de cirkel wordt evenredig wijder; een sterker veld trekt diezelfde snelheid in een nauwere lus, wat de straalformule $r = mv/(qB)$ op het scherm is. Het teken van de lading of de richting van het veld veranderen keert de buiging om terwijl de snelheid gelijk blijft. Met de rechterhand de richting bepalen en met de formule de grootte, dek je beide helften van het probleem.

De wet van Ampere: spoelen en kernen versterken het veld

De draadformule is één geval van een algemenere uitspraak, de wet van Ampere. In gewone taal zegt die dat de totale magnetische circulatie rond een gesloten lus gelijk is aan de netto stroom die door die lus heen gaat, geschaald met $\mu_0$:

$$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{ingesloten}}$$

Het linkerlid telt het veld op langs een gekozen gesloten pad, en $I_{\text{ingesloten}}$ is de stroom die door het gebied gaat dat dat pad omsluit. Voor de rechte draad levert een cirkelvormig pad eromheen direct $B = \mu_0 I / 2\pi r$ op, wat een goede controle is dat de twee uitspraken met elkaar kloppen.

De wet verklaart waarom een spoel het wint van een rechte draad. Wikkel de draad in $N$ windingen en elke winding gaat door hetzelfde pad, dus de bijdragen tellen op en het veld rond de as groeit ruwweg evenredig met $N$. Spoelen zijn de manier waarop een bescheiden stroom een veld wordt dat sterk genoeg is om een motor te laten draaien of een relais te laten schakelen.

Ze verklaart ook de ijzeren kern. Een ferromagnetische kern reageert op het veld door zijn eigen domeinen uit te richten, en die respons komt bovenop de flux die de stroom al produceerde. Dezelfde stroom door dezelfde spoel levert dan een veel sterker veld op met de kern dan zonder. Daarom stoppen relais, motoren en transformatoren ijzer of een ander magnetisch materiaal in hun spoelen in plaats van ze vol lucht te laten.

Er is nog één term in de volledige versie van de wet van Ampere, toegevoegd door Maxwell, die van belang is wanneer het elektrische veld verandert. Die komt terug in de laatste sectie, waar blijkt dat juist dit stukje het licht laat reizen.

De wet van Faraday: een veranderend veld drijft een stroom

Magnetisme kan ook elektriciteit produceren, en daarvoor is een verandering nodig in plaats van een stationaire toestand. Beweeg een magneet heen en weer bij een draadlus en er verschijnt een stroom in de lus; houd de magneet stil en de stroom stopt, ook al is het veld er nog steeds. De aanleiding is een veranderende magnetische flux, geschreven als $\Phi_B$, die de hoeveelheid veld meet die door de lus gaat.

De wet van Faraday stelt dat de geïnduceerde spanning rond de lus gelijk is aan de snelheid waarmee de flux verandert:

$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$

$\mathcal{E}$ is de geïnduceerde spanning en $d\Phi_B/dt$ is hoe snel de flux verandert. Het minteken is de wet van Lenz, en het zegt dat de geïnduceerde stroom zich verzet tegen de verandering die hem heeft veroorzaakt. Duw een magneet naar de lus en de lus wekt een stroom op waarvan het veld de nadering tegenwerkt; trek hem weg en de stroom keert om om de terugtocht te weerstaan. Die tegenwerking is de manier waarop de natuur je arbeid laat verrichten voor de energie die de stroom vervoert.

Lokaal geschreven in plaats van rond een lus, zegt de wet van Faraday dat een magnetisch veld dat in de tijd varieert een circulerend elektrisch veld opwekt:

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

Het rotatiesymbool links is de lokale versie van circulatie rond een piepkleine lus. Het belangrijkste punt is dat dit in de lege ruimte werkt. Er is geen draad nodig. Een veranderend magnetisch veld maakt een elektrisch veld in de omringende ruimte, en een draad die daar wordt geplaatst geeft het geïnduceerde veld alleen maar een pad om stroom langs te drijven.

Het model hieronder koppelt een draadlus aan een grafiek van de flux die erdoor gaat. De blauwe kromme is die flux en de rode kromme is de geïnduceerde circulatie, en één marker draagt beide door een volledige cyclus. De blauwe kromme verandert het snelst waar ze door nul gaat, en daar bereikt de rode kromme haar grootste waarde. In de blauwe pieken zakt de veranderingssnelheid naar nul en gaat de rode kromme mee door nul. De lus links maakt hetzelfde punt: haar veldmarkers vullen en legen zich, terwijl de geïnduceerde stroom langs haar rand de helling van de flux volgt, niet het niveau.

De grootte van het geïnduceerde effect hangt af van hoe snel de flux beweegt, dus een hogere frequentie drijft de rode kromme naar een grotere amplitude, zelfs als de blauwe kromme dezelfde hoogte houdt. Dit is het gedrag dat generatoren en transformatoren aandrijft. Een generator houdt de flux door zijn spoelen veranderlijk zodat er steeds spanning verschijnt, en een transformator leunt juist op wisselstroom omdat wisselstroom de flux in beweging houdt.

Maxwells toevoeging en de oorsprong van licht

De wet van Faraday werkt één kant op, van een veranderend magnetisch veld naar een circulerend elektrisch veld. Maxwell vroeg zich af of het omgekeerde ook kon en ontdekte dat het kan, mits er één extra term aan de wet van Ampere wordt toegevoegd. Een veranderend elektrisch veld wekt ook een circulerend magnetisch veld op:

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

$\mathbf{J}$ is de stroomdichtheid, en de nieuwe term rechts is Maxwells verplaatsingsstroom, evenredig met hoe snel het elektrische veld verandert. De eerste term is het effect van de wet van Ampere uit de draad; de tweede is het stukje dat een veranderend elektrisch veld terugkoppelt naar magnetisme.

Met beide koppelingsrichtingen op hun plaats wordt een zelfinstandhoudende golf mogelijk. Een veranderend elektrisch veld wekt een magnetisch veld op, dat veranderende magnetische veld wekt een elektrisch veld op, en het patroon marcheert op eigen kracht door de ruimte zonder ladingen of draden om het te dragen. De snelheid van die golf volgt uit de twee constanten:

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$$

Vul de gemeten waarden van $\mu_0$ en $\epsilon_0$ in en $c$ komt uit op ongeveer $3 \times 10^8$ m/s, wat al bekendstond als de lichtsnelheid. Die overeenkomst is het bewijs dat licht een elektromagnetische golf is, en radio, microgolven, infrarood, zichtbaar licht en röntgenstraling zijn hetzelfde verschijnsel bij verschillende frequenties. Wil je die golfnatuur fysiek werk zien doen, dan laat diffractie en de Airy-schijf zien hoe de zich verspreidende golf de resolutielimiet van elke lens bepaalt.

De overige twee vergelijkingen van Maxwell gaan over de bronnen in plaats van de koppeling. Elektrische ladingen wekken elektrisch veld op, en er zijn geen magnetische ladingen om magnetisch veld op te wekken, wat de formele uitspraak is dat veldlijnen nooit op een pool eindigen.

Veelgemaakte fouten en een praktische werkwijze

Een handvol fouten duikt steeds weer op wanneer mensen voor het eerst magnetismeopgaven maken. De meest voorkomende is de richting van het veld verwarren met de richting van de kracht. Het veld wijst één kant op, en de kracht op een bewegende lading wijst zijwaarts op zowel het veld als de beweging, dus de twee vallen zelden samen.

De tweede is vergeten dat magnetische kracht beweging vereist. Een lading in rust in een magnetisch veld voelt niets van dat veld, zelfs niet van een sterk veld, dus een opgave waarbij een kracht lijkt te ontbreken mist misschien gewoon een snelheid.

De derde is het teken van de lading weglaten. Elektronen buigen de andere kant op dan protonen in hetzelfde veld, en het minteken negeren keert het antwoord om.

De vierde is flux verwarren met de veranderingssnelheid van de flux. Inductie hangt af van hoe snel de flux verandert, dus een grote stationaire flux induceert niets, terwijl een kleine flux die snel verandert veel kan induceren.

Als een opgave onbekend lijkt, houdt een korte routine je bij de grond. Schets de snelheid, het veld en de geometrie voordat je een formule aanraakt. Bepaal welke wet past, of het nu het draadveld, de krachtwet, de wet van Ampere of de wet van Faraday is. Voorspel eerst de richting en bereken dan de grootte. Controleer die grootte tegen alledaagse schalen zoals microtesla voor het aardveld en millitesla tot tesla voor sterke magneten. Test ten slotte een limietgeval zoals snelheid nul of constante flux en kijk of de uitkomst nog steeds klopt.

Samenvatting

Magnetisme is de zichtbare kant van elektrische lading in beweging. Ladingen die verschuiven of zich uitrichten produceren een magnetisch veld, en dat veld stuurt andere bewegende ladingen zijwaarts zonder hun snelheid te veranderen. De wet van Ampere koppelt het veld aan de stroom die het opwekt, en een ijzeren kern of meer windingen concentreren het effect tot de sterke velden die motoren en transformatoren aandrijven.

Het beeld in de tijd veranderen voegt de tweede helft van het verhaal toe. De wet van Faraday zet een veranderende magnetische flux om in een circulerend elektrisch veld en een geïnduceerde spanning, terwijl Maxwells extra term een veranderend elektrisch veld terug magnetisch veld laat maken. Die wederzijdse koppeling vervoert een golf door de lege ruimte met de lichtsnelheid, wat elektriciteit, magnetisme en licht binnen één raamwerk plaatst. Zodra je kunt schakelen tussen het veldbeeld, de richtingsregels en de vergelijkingen, wordt het gedrag iets dat je kunt voorspellen.